如何理解拉普拉斯变换(Laplace transform)

最近在复习现代信号处理。于是自己又翻出以前的书看了看,发现对拉式变换又有了新的理解。于是把新的体会写下来。


 

要理解Laplace变换首先要明白什么是傅里叶变换。傅里叶变换的思想就是用一些列复指数周期函数进行线性组合来表示另一个函数(信号)。而我们选的这些基函数就是线性时不变系统的特征函数(eigenfunctions)。

而Laplace transform就是Fourier transform的一般化,Z变换是则对应的是离散时间。因此相比于傅里叶变换,拉氏变换少了些约束条件。因此能进行拉氏变换的信号类型就比傅里叶变换多。拉氏变换和Z变换都具有许多傅里叶变换的性质。

 

    在傅里叶变换中,LTI系统特征函数是复指数函数,而在拉氏变换中,LTI的特征函数则是由于s是复数,所以拉氏变换能表示更广泛的信号。从这里也可以看出傅里叶变换是拉氏变换的特殊情况。当s为纯虚数的时候,拉氏变换就变成了傅里叶变换。我在MIT的课程文档中看到用reduce来形容这一特殊化过程,极为贴切。(Laplace transform reduces to the Fourier transform)。也可以这样理解,拉氏变换是信号乘以一个指数权重的傅里叶变换。

fourier_transform

正是由于这个指数权重,是的拉氏变换可以覆盖傅里叶变换所不能表达的信号。例如,拉氏变换和Z变换可以用于分析不稳定的系统。所以这么说来拉普拉斯变换也是一种傅里叶变换。

拉氏变换是一个关于复数s的函数。对于任意一个信号,拉氏变换都有s的收敛域。不同的信号可能有相同的拉氏变换,却有不同的收敛域。一个完整的拉氏变换也不仅仅只有一个表达式,还应该包括收敛域。所谓收敛域,就是只拉氏变换这种傅里叶变换,必须绝对可和。当傅里叶变换遇到不收敛的信号时,此时不可以进行傅里叶变换。于是我们乘以一个指数权重使之收敛,这时候信号就收敛了,也就可以进行傅里叶变换了。也就是信号乘以一个指数权重后,原本可能不可傅里叶变换的信号,就可以进行傅里叶变换。而要实现这样的变换就必须满足某些条件,这个条件就是必须使s落在ROC(Region of convergence 收敛域)里。
拉氏变换收敛域有些重要的性质:

  1. ROC不包含任何一个极点。这点极容易理解。因为极点使拉氏变换变得无穷大,于是也就不可积分。为了使拉氏变换这个傅里叶变换绝对可积,极点就不能落在ROC中。
  2. 如果信号是有限周期的,那么ROC就是整个S平面。这点也极易理解。因为信号的持续时间是有限的,因此任何情况的的s,该信号都是绝对可积的。所以ROC也就是整个s平面。

 

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